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La révolution des données : l′Afrique doit s′en saisir pour accélérer son développement socioéconomique !








Contenu de la page

Mortalité


On étudie sous le nom de mortalité l′action de la mort sur les populations. Le dictionnaire multilingue demopaedia en donne quelques explications, mais nous proposons dans cette page des détails importants pour la mise en œuvre de la table de mortalité, le calcul de l′espérance de vie, etc.



Étude longitudinale


L′étude des phénomènes démographiques doit toujours spécifier si l′observation de base est continue ou spécifique à une période donnée. L′observation continue part du début du phénomène (naissance au cours d′une année A par exemple dans un pays P) jusqu′à la disparition des éléments en observation (disparition totale des naissances de l′année A du pays P). Un exemple d′observation continue se fait à travers les régistres d′ état civil. L′analyse qui porte sur la génération ici considérée s′appelle une analyse longitudinale. Á priori, les indices sont plus simples à calculer. Dans le cas de la mortalité par exemple, le relevé des survivants aux différents anniversaires fournit une série Sx permettant de calculer les probabilités de survie à ces anniversaires (évidemment, ceci est assez simpliste et il faut tenir compte des hypothèses sur la migration en particulier).
Par contre, l′observation peut se faire sur un laps de temps seulement, par exemple une année civile. On peut avoir recours aux enquêtes et recensements. On parle alors d′observation du moment donnant lieu à l′analyse du moment caractérisée par le fait que le phénomène étudié concerne des générations/cohortes différentes, ayant donc vécu des histoires variées et pas forcément homogènes. Ceci introduit une certaine complexité dont il faut tenir compte lors du calcul des indicateurs... Mais au final, du fait de leur actualité, ces indicateurs sont bien plus pratiques et utiles.

Analyse longitudinale de la mortalité: table de mortalité complète

La table de mortalité d′une génération est un modèle descriptif de l′extinction de cette génération au fur et à mesure que l′âge s′élève. On suppose la population non soumise à la migration. De plus, il faut disposer de l′enregistrement des naissances et des décès sur au moins 100 ans, chose difficilement réalisable.

Supposons néanmoins ces conditions réalisées et l′effectif initial des naissances égal à 1000 pour la génération considérée, et appelons Ω l′âge au décès du dernier survivant.

La série (sx)x=0,1,2,...,Ω où sx représente les survivants à l′anniversaire x définit la table de mortalité (ou de survie ) de la génération aux anniversaires successifs. On l′appelle série des survivants de la table. Cette série est décroissante (partant de s0=1000 à sΩ=0).

Les deux autres séries couramment mises dans la table sont :

  • les décès de la table d(x,x+1)=sx-sx+1 ;
  • les quotients annuels de mortalité, ou probabilités pour un individu atteignant l′âge x de mourir avant l′anniversaire x+1. Ils s′écrivent : Equation 1. Le complément à 1 du quotient de mortalité à l′anniversaire x mesure la probabilité de survie jusqu′à l′anniversaire x+1 pour les survivants à l′anniversaire x. On le note : Equation 2.
  • La série Sx donne les probabilités de survie de la naissance à l′anniversaire x (avec S0=1000). On a :
    Equation 3,
    soit Equation 4.
  • La série d(x,x+1) donne les probabilités (exprimées pour S0 tel que Equation 5) de décéder entre les anniversaires x et x+1, calculées pour les nouveaux-nés pris à l′âge exact 0. La série 1qx par contre mesure la même probabilité mais pour les survivants pris à l′anniversaire x.

La table de mortalité est complète lorsque la série Sx est connue à tous les anniversaires x. D′où la forme d′une table de mortalité complète :

Table complète de mortalité

Anniversaires

Survivants

Décès

Quotients

0

S0

d(0,1)

1q0

1

S1

d(1,2)

1q1

2

S2

d(2,3)

1q2

3

S3

d(3,4)

1q3

"

"

"

"

"

"

"

"

x

Sx

d(x,x+1)

1qx

x+1

Sx+1

d(x+1,x+2)

1qx+1

"

"

"

"

"

"

"

"

Ω-1

SΩ-1

d(Ω-1, Ω)=SΩ-1

1

Ω

0

-

-


À partir de la table de mortalité complète, on peut calculer plusieurs indices de tendance centrale dont :

  • l′âge modal au décès. C′est l′âge différent de 0 auquel on meurt le plus. En effet, la courbe des décès présente toujours deux modes dont l′un est 0 an, et l′autre un âge compris entre 60 et 85 ans selon le niveau de mortalité. C′est ce second mode que l′on dénomme âge modal au décès ;
  • l′âge médian au décès. C′est l′âge au décès du (S0/2)ième décédé de la génération. Une interpolation linéaire peut être requise pour le déterminer ;
  • l′âge moyen au décès. Il mesure le nombre moyen d′années vécues par les individus de la génération. On l′appelle espérance de vie à la naissance et on le note e0.

En notant TAV le nombre total d′années vécues par les individus de la génération qui compte S0 naissances au départ, et en admettant qu′à chaque âge x, les d(x,x+1) décès arrivent en moyenne à l′âge x+0,5 ans, on a : Equation 6. D′où: Equation 7



On définit l′espérance de vie à l′âge x comme étant le nombre moyen d′années vécues par les survivants à l′âge x (Sx) et on la note ex. On a donc : Equation 8.

En utilisant un tableau donnant les âges moyens au décès, le nombre de décès et le TAV par les décédés, on montre que : Equation 9, et alors Equation 10.

Cette formule permet de calculer l′espérance de vie des personnes âgées (x>80 ans par exemple). Lorsque l′on connaît la répartition des décès à 0 an selon l′âge en jours d(j) (j compris entre 0 et 365), en calculant l′âge au décès entre 0 et 1 an exact (Equation 11, avec Equation 12 et alors on trouve toujours un âge inférieur à 0,5 an (souvent compris entre 0,25 an et 0,05 an selon le niveau de la mortalité infantile). Soit a cet âge. e0 s′écrit alors : Equation 13.


Table de mortalité abrégée

La série Sx est rarement disponible pour tous les anniversaires x. On connaît très souvent les survivants aux anniversaires multiples (5 ou 10 ans), seul l′âge 0 étant isolé en général pour l′étude de la mortalité infantile. La série dans le cas des groupes d′âges quinquennaux est alors de la forme : S0, S1, S5, S10, ... Sous l′hypothèse d′une absence de migration, on a, pour une amplitude d′âges a : d(x,x+a) = Sx - Sx+a et le quotient de mortalité entre les âges x et x+a s′écrit : Equation 14.
Alors que l′on a :
d(x,x+5) = d(x,x+1)+d(x+1,x+2)+d(x+2,x+3)+d(x+3,x+4)+d(x+4,x+5),
le quotient s′écrit plutôt : 5qx = 1 - (1-1qx)(1-1qx+1)(1-1qx+2)(1-1qx+3)(1-1qx+4).
On ne peut donc pas réduire des quotients calculés sur des intervalles différents à un même ordre de grandeur.
Si l′on note Rx l′effectif de la génération observé à l′anniversaire x, I(x,x+a) et E(x,x+a) les immigrants et les émigrants entre les anniversaires x et x+a, alors le quotient de mortalité de l′âge x à l′âge x+a est : Equation 15.
Ceci part de l′approximation suivante :
pour les migrants décédés, certains auraient pu mourir sans avoir eu le temps de migrer ; alors en moyenne on suppose que cette situation est celle de la moitié d′entre eux 1qx1ex/2 (partant de 2 positions extrêmes : tous meurent sans émigrer, et alors on a 0 décès de migrants, ou alors tous émigrent avant de mourir, et alors on a 1qx1ex décès de migrants, d′où la moitié comme moyenne de décès).


Schéma des relations entre mortalité et migration

MIGRATIONS

MORTALITE

(1-1ex)

non migration

(1-1qx) survie

1qx décès

 

(1-1qx)(1-1ex)

reste en observation

(1qx(1-1ex)

décès observés

1qx(1-1ex)+1qx1ex/2       décès totaux

(1ex)

émigration

ex(1-1qx)

départ

1qx1ex décès dont 1/2 avant la migration et 1/2 après

 

 

ex(1-1qx)+1qx1ex/2 (départs totaux)



On peut utiliser ce principe pour étudier la mortalité par cause. Soit i une cause de décès donnée et j l′ensemble des autres causes. On peut considérer j comme facteur perturbateur de la mortalité par i, et alors calculer les taux de décès de cause i en l′absence de j, puis introduire j pour trouver les variations de i au contact de j.

Soient Di(x,x+a) les décès dus à la cause i ;
Dj(x,x+a) les décès dus aux autres causes (j) ;
alors le quotient de mortalité due à la cause i est : Equation 16. On a par ailleurs : (1-aqx)=(1-aqxi)(1-aqxj), où aqx est le quotient de mortalité toutes causes confondues. On en déduit la formule exacte : Equation 17.
On peut donc construire la table de mortalité pour la cause i de décès agissant seule :
Sxi=s0(1-1q0i)....(1-1qx-1i), et di(x,x+a)=Sxiaqxi.
Avec les diverses données, le calcul de e0 (espérance de vie à la naissance, toutes causes de décès confondues), de e0j, le gain de l′espérance de vie résultant de l′éradication de la maladie i est de e0j-e0.


Analyse transversale de la mortalité

On dispose rarement de données suffisantes pour réaliser une étude longitudinale de la mortalité. Cette dernière ne présente surtout qu′un intérêt historique, car reflétant la mortalité d′une génération ancienne. On recourt par conséquent souvent à l′analyse transversale.

Taux brut de mortalité

Le taux brut de mortalité (TBM) est le rapport du nombre de décès observés dans une population à l′effectif moyen de cette population au cours de la période d′observation. Il est annuel. La population moyenne est en général la population en milieu de période (ou la moyenne des effectifs en début et fin de période, ou la moyenne des effectifs mensuels au cours de la période).

De façon plus précise, le TBM est le nombre annuel moyen de décès par habitant au cours d′une période de temps donnée. C′est également le rapport du nombre total de décès au nombre total d′années vécues par la population au cours de la période considérée. Ces deux définitions sont équivalentes lorsque l′on a affaire à de grands nombres.

Pour une année civile, si l′on note Pm la population moyenne au cours de l′année (population au 1er juillet), et D les décès totaux de l′année, alors : TBM = D/Pm.



TBM (en pour mille) du Cameroun en 1987

Localité

Cameroun

Sexe masculin

Sexe  féminin

 

Total

Urbain

Rural

Total

Urbain

Rural

Total

Urbain

Rural

TBM

13,67

10,25

15,20

14,83

10,86

17,47

12,35

9,66

13,16

Source : DEMO87, Vol. III, tome 9, p.26.

En première analyse, le TBM varie selon le secteur de résidence (est plus élevé à la campagne par rapport à la ville), et selon le sexe (plus élevé chez les hommes). Mais ceci n′est qu′un premier aperçu et l′analyse peut être approfondi.

Si la période n′est pas annuelle, alors les D décès ont été enregistrés pendant j jours, et alors le TBM s′écrit : TBM = (D/Pm)(365/j).

Soient Px la proportion des personnes d′âge x par rapport à la population totale, D(x) les décès d′âge x, P(x) la population d′âge x. Alors, le taux de mortalité à l′âge x dans la population et au cours de la période considérée est : tx = D(x)/P(x), donné en pour mille et de dimension annuelle.


Le taux par âge se définit donc comme le rapport des décès annuels entre les âges x et x+a (où a est l’amplitude d’âge), à la population moyenne du groupe d′âge considéré. Selon que l′on parle d′âge atteint durant la période d′observation ou d′événements ayant eu lieu entre anniversaires, on obtient différentes formes de taux.

Ainsi le taux par âge (années révolues) ou taux entre anniversaires est le rapport des décès entre les âges exacts x et x+a, survenus au cours de l′année t0, à la moyenne des effectifs appartenant au même groupe d′âges au premier janvier des années successives t0 et t1; au cours d′une année d′observation, ce taux mesure la mortalité entre les âges x et x+1. Le taux par génération, quant à lui, est le rapport du nombre de décès d′une ou plusieurs générations au cours d′une année, à l′effectif moyen de cette ou ces génération(s) durant cette année ; au cours d′une année d′observation, ce taux mesure la mortalité entre les âges moyens x-1+a/2 et x+a/2 (à quelques exceptions près).

L’expression suivante, avec les notations précédentes et en posant Px=P(x)/P, Equation 18 montre que le TBM est une fonction de la structure par âge de la population. Donc, à mortalité égale, deux pays pourraient avoir des TBM différents pour peu que leur structure par âge soit différente. Cette structure dans une population ne se transforme que très lentement, permettant ainsi au TBM de mesurer l′évolution de la mortalité dans un même pays.


Pour comparer la mortalité de deux pays (ou plus), on peut recourir aux indices comparatifs. Deux possibilités existent :
- soit on se réfère à la

population-type,

Population-type

Afin d′éliminer l′effet parasitaire de la structure par âge sur le TBM, la mortalité de deux populations A et B peut se comparer en adoptant une structure par âge unique, celle d′un pays C alors appelé "population-type" (C peut bien être A ou B). On applique alors à cette structure les taux de mortalité par âge des populations A et B. Ainsi, au lieu de comparer directement les taux : Equation 19 on compare plutôt : Equation 20 qui ne diffèrent que par la mortalité.



- soit on fait appel à la

mortalité-type.

Mortalité-type

Le TCM est un indice amélioré de comparaison, mais ne vaut vraiment que lorsque la mortalité d′un des pays à comparer est à chaque âge inférieure à celle du second pays (conditions difficiles à connaître ; par ailleurs, si les taux de mortalité par âge sont connus, on peut directement comparer les deux séries).

Au lieu de la population-type, on peut plutôt appliquer la mortalité-type. Il s′agit alors de choisir une mortalité-type C (tx,C). On construit alors les indices IA et IB que l′on compare. Equation 21 Pour C=A, on a alors à comparer IB à 1. La comparaison directe des TBM donne les mêmes tendances, mais les niveaux sont biaisés par l′effet de la structure par âge.




Table de mortalité du moment

C′est la table utilisée pour décrire la mortalité d′un pays selon l′âge au cours d′une période limitée de temps. Elle est directement inspirée de la table de génération.

Principe de la cohorte fictive

La table de mortalité du moment d′une période donnée peut être considérée comme la table de mortalité qui serait applicable à une génération fictive (ou cohorte fictive de nouveau-nés), soumise à chaque âge au risque de décès encouru par les personnes de cet âge durant la période considérée.

Cette table se construit à partir de la série des quotients comme pour toute autre table de génération. Mais il ne s′agit que d′un modèle transposé du longitudinal, et qui ne se justifie pas en soi.

Comme le montre le graphique ci-contre, à partir des données du moment (recensement par exemple avec mortalité des 12 derniers mois), on a la série des décès par âge au cours de l’année t1. Chaque carré ABCD appartenant à 2 générations l’année t1 peut être assimilé au losange ACED, élément d’une génération observée au cours de 2 années successives t1 et t1+1. L’ensemble de tels losanges se translate pour constituer la génération ou cohorte fictive.

Cohorte fictive

Taux de mortalité par âge

On appelle taux de mortalité du groupe d′âges (x,x+a), le nombre annuel moyen de décès par personne d′âge (x,x+a), au cours d′une période donnée.

Soient :

  • D(x,x+a) les décès observés au cours d′une année civile entre les âges exacts x et x+a;
  • P(x,x+a) la population d′âge x à x+a exacts en milieu de l′année d′observation.

Alors le taux de mortalité du groupe d′âges (x,x+a) est : Equation 22

Si l′on note Sx les survivants à l′âge exact x pour a générations, et E(x,x+a) la migration nette entre les âges exacts x et x+a, alors on a : Equation 23, et le taux s′écrit donc : Equation 24 Pour des décès enregistrés sur plusieurs années civiles - 5 ans par exemple - le taux s′écrit : Equation 25

Illustration du diagramme de Lexis



Relations entre taux et quotients

On peut disposer des taux et pas de données suffisantes pour le calcul des quotients. Dans certaines limites, une relation permet de déduire l′un de l′autre.

Prenons le cas simple d′un taux annuel calculé dans une génération entre deux anniversaires. Soient alors :

  • Px l′effectif d′âge x révolus dans la génération au 1er janvier de l′an 1 ;
  • D(x,x+1) et E(x,x+1) les décès et migration nette entre les anniversaires x et x+1.

En notant 1tx le taux de mortalité à l′âge x révolu, on a : Equation 26
et Equation 27, ce qui donne : D(x,x+1) = 1qx(Sx - ½E(x,x+1)). Par ailleurs, Px = Sx - ½(E(x,x+1) + D(x,x+1)). D′où : Equation 28, et en simplifiant on a : Equation 29. On en déduit : Equation 30.

Tx Quotient1 Tx Quotient2

Cette formule s′étend au calcul des taux par années civiles. Sur le graphique précédent, on suppose qu′il y a identité entre les triangles B et C (comme si l′on avait affaire à une population stationnaire).

Avec un groupe d′âges pluriannuels, la formule devient : Equation 31, formule reposant sur l′hypothèse d′une population stationnaire. Elle implique donc peu de migration dans la population et une faible variation de la mortalité et des effectifs des générations successives. En pratique, l′amplitude annuelle a doit être au plus égale à 5 ans.



Population stationnaire associée

Dans la table de mortalité du moment, en plus des séries habituelles que sont Sx, d(x,x+1) et 1qx, on ajoute souvent la série des espérances de vie aux anniversaires successifs ex. Le calcul de ex est largement facilité par la construction de la population stationnaire associée.

On appelle population stationnaire associée à une table de mortalité une population fictive dont l′effectif annuel de naissances N est constant, et dont la table de mortalité est invariable dans le temps.

L′effectif atteignant l′anniversaire x au cours d′une année donnée est donc : N.Sx/S0. Si on choisit N=S0, cet effectif est constant et égal à Sx.

L′effectif âgé de x ans révolus à un moment quelconque est :
P(x) = ½(Sx + Sx+1), en considérant que les décès d(x,x+1) sont répartis uniformément entre les anniversaires x et x+1.

La population stationnaire est donc celle dont les effectifs par âge sont identiques aux survivants de la table de mortalité. Notons P(x+) l′effectif âgé au moins de x ans. On a :

Equation 32, or Equation 33. D′où : Equation 34.
Population Stationnaire 1
Donc, connaissant en plus des données de la table de mortalité la série P(x+), on estime aisément la série des espérances de vie aux divers âges ex. La population stationnaire associée à une table a quelques particularités à la première année d′âge et au dernier groupe d′âges.

Les décès à 0 an ne se répartissent jamais uniformément entre 0 et 1 an exact. Une fraction k survient au cours de l′année de naissance et le reste 1-k l′année civile suivante tel que l′on ait : P(0) = S0 - k(S0-S1) = (1-k)S0 + kS1. k est en général inconnu, et une valeur plausible est 0,7 (plus de décès proches de la date de naissance). D′où en général : P(0) = 0,3S0 + 0,7S1.

Population Stationnaire 2
Population Stationnaire 3

Par la suite on : P(1-4) = 4.(S1 + S5)/2, P(5-9) = 5.(S5 + S10)/2, etc.

Mais pour le dernier groupe d′âges P(85+), le calcul n′est plus identique (ce groupe terminal dépend des données disponibles et n′est donc pas toujours 85 ans et plus).

On peut écrire : P(85+) = e85S85. Comme e85 est en général inconnu, si on n′arrive pas à l′estimer (en le prenant par exemple égal à 2,5 ans), on peut poser que S90 # 0, et alors P(90+)=0. Par conséquent on an à peu près (ce qui est plus exact pour les populations à forte mortalité comme celle de l′Afrique) : P(85-90) = 5.(S85+S90)/2 = 2,5.S85.

La population stationnaire associée à une table de mortalité permet également le calcul des quotients perspectifs de mortalité et des probabilités perspectives de survie, utilisés dans les projections de population, où l′on cherche à établir la mortalité par génération au cours d′une période donnée.

Population Stationnaire 4
Dans un diagramme de Lexis, ces probabilités et quotients s′inscrivent de diverses façons selon les données.

Avec un groupe quinquennal d′âges répartis sur 5 années civiles, le quotient perspectif de mortalité s′écrit : Equation 35 ; et la probabilité perspective de survie : Equation 36. Quant au quotient perspectif de mortalité de la naissance à 0 an révolu, il est donné par : Equation 37.

Le quotient perspectif de mortalité de la naissance aux âges 1-4 ans révolus est : Equation 38 et le quotient perspectif de mortalité de la naissance aux âges 0-4 révolus quant à lui s′écrit : Equation 39...
Pour la mortalité du dernier groupe d′âges ouvert, si la table donne la série des survivants jusqu′à l′âge 85 ans, on peut calculer un quotient perspectif de mortalité durant 5 ans, pour le groupe d′âges ouvert 80 ans et plus.

On a alors : Equation 40.

Population Stationnaire 5
Population Stationnaire 6 Population Stationnaire 7

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